Mansion expose d’une manière élémentaire et sous forme didactique les principes de la Métagéométrie composée de la géométrie euclidienne, de la géométrie lobatchefskienne et de la géométrie riemannienne (Esquisse historique, Les définitions et les quatre premiers postulats, Le cinquième et le sixième postulat. Les trois géométries ; Propositions communes à la géométrie euclidienne et à la géométrie lobatchefskienne ; Propositions caractéristiques de la géométrie euclidienne et de la géométrie lobatchefskienne ; Propositions caractéristiques de la géométrie riemannienne) :

• Mansion cite Euclide, Thalès, Pythagore, Eudoxe, Archimède, Ptolémée, Proclus, Wallis, Clavius, Legendre, P. Saccheri, S. J., Lambert, Taurinus, Gauss, Schweikart, Bessel, Bolyai, Lobatchefsky, Riemann, De Tillypour réaliser une notice historique sommaire sur les travaux les plus importants dont les principes de la Géométrie ont été l’objet depuis Euclide jusqu’à M. De Tilly.

• Mansion renvoie à ses interventions dans la Revue des Questions scientfiiqueset Mathesispour les renseignements bibliographiques relatifs aux auteurs qu’il cite :

  « Pour les renseignements bibliographiques relatifs aux divers auteurs dont il est question ici et dans la suite, voir notre article intitulé : Notice sur les recherches de M. De Tilly en Métagéométrie(…). » (Mansion (1896), p. 146)

• Mansion renvoie, sans les présenter, aux travaux de Cayley, Klein, Darboux, Poincaré, Beltrami, Riemann, Helmholtz, Lie qui ont démontré d’une manière indirecte un grand nombre de propositions de la géométrie générale :

  « D’illustres géomètres, Cayley, Klein, Darboux, Poincaré, Beltrami, Riemann, Halmholtz, lie, etc., ont étudié d’une manière approfondie diverses théories analytiques ou géométriques qui ont les rapports les plus étroits avec les recherches dont nous venons de faire rapidement l’histoire sous une forme élémentaire. Ils ont ainsi démontré d’une manière indirecte un grand nombre des propositions de la géométrie générale. Faute de compétence suffisante, nous ne pouvons donner ici un aperçu de leurs recherches. » (Mansion (1896), p. 150)

• Mansion s’appuie sur les travaux de De Tilly pour réaliser sa présentation de la Métagéométrie :

  « Personne que nous sachions n’a analysé plus profondément les principes fondamentaux de la géométrie que M. De Tilly. Aussi, dans les pages qui suivent, ce sont surtout ses travaux qui nous servent de guide, bien que la forme de notre exposition soit aussi euclidienne que possible en vue de faciliter l’accès de la Métagéométire à un plus grand nombre de lecteurs. » (Mansion (1896), p. 150)

• Mansion reprend les définitions, les postules et les propositions aux Éléments d’Euclide :

  « Dans ce qui suit, nous empruntons, en général, les définitions, les postulats et les propositions aux Élémentsd’Euclide, parce qu’ils constituent, de nos jours encore, le manuel de géométrie le plus connu et le plus rigoureux. Nous nous servons de la grande édition grecque, latine et française de Peyrard (Paris). Nous réduisons d’ailleurs les définitions au strict nécessaire, à part une exception et nous ne reproduisons pas les neuf axiomes d’Euclide, parce que ceux que nous employons implicitement sont admis par tout le monde. » (Mansion (1896), p. 150)

• Mansion renvoie aux interventions de Peano dans lesquelles le mathématicien italien a analysé plus profondément les notions fondamentales de la géométrie et augmenter le nombre des postulats :

  « On peut analyser plus profondément que ne l’a fait Euclide les notions fondamentales de la géométrie et augmenter considérablement le nombre des postulats. Voir, par exemple, Peano (…). » (Mansion (1896), p. 151)

• Nys, « L'homogénéité de l'espace », in Revue Néo-Scolastique, t. 23, Louvain, 1921, pp. 140-162

• Mansion, Paul, « De la suprême importance des Mathématiques en Cosmologie, à propos de Kant », in Revue Néo-Scolastique, t.22, Louvain, 1920, pp. 148-189

• Léchalas, Georges, « Les fondements de la Géométrie. A propos d'un livre récent », in Revue Néo-Scolastique, t.8, Louvain, 1901, pp. 338-354

• Nys utilise l'article de Mansion pour réaliser une présentation d'un point de vue scientfique des géométries nouvelles

  Léchalas estime que les articles de Mansion ont permis aux lecteurs de la revue de se familiariser avec les principes de la géométrie générale :

  « Nous admettrons que nos lecteurs ont déjà une connaissance suffisante de la géométrie non-euclidienne, ou plutôt de la géométrie générale ; non seulement en effet la connaissance de cette géométrie s’est beaucoup répandue depuis quelques années, mais les lecteurs de la Revue Néo-Scolastiquey ont été particulièrement initiés par M. Mansion, dans sa belle étude sur les Premiers principes de Métagéométrie ou de Géométrie générale. Mais, avant d’aborder l’examen des fondements mêmes de la géométrie, nous voudrons faire ressortir nettement l’idée essentielle de la Géométrie projective. » (Léchalas (1901), pp. 338-339)