Mansion continue son exposé des principes de la Métagéométrie composée de la géométrie euclidienne, de la géométrie lobatchefskienne et de la géométrie riemannienne (Résumé. Vraie nature des postulats 5 et 6 ; Esquisse des principales propositions de la métagéométrie. Indémontrabilité des postulats ; La géométrie physique ; Appendice : La géométrie comme physique mathématique des distances)

• Mansion continue à s’appuier sur les travaux de De Tilly pour réaliser sa présentation de la Métagéométrie

• Mansion montre, à partir des travaux de Léchalas, que les postulats 5 et 6 sont des définitions méconnues et non, comme l’a soutenu Kant, des jugements synthétiques à priori :

  « Dans tout ce qui précède, nous n’avons dû recourir nulle part à une de ces assertions arbitraires que Kant a appelées jugements synthétiques à priori. Les postulats 5 et 6 n’appartiennent nullement à cette catégorie de propositions. Ce sont simplement des définitions méconnues, comme l’a très bien dit M. Lechalas. Les postulats 5 et 6 sont indispensables pour distinguer les espèces du genre droit, rien de plus. Ils ne sont ni contenus dans la définition de la droite générale ni en contradiction avec cette définition ; ils en sont indépendants. » (Mansion (1896), pp. 243-244).

• Mansion cite Léchalas sur la détermination expérimentale du paramètre de notre univers :

  « « Nous avons vu que, si l’on se place à un point de vue purement rationnel, toutes les géométries, pouvant être construites sans entraîner de contradiction, ont une égale valeur, sont aussi vraies les unes que les autres. Mais on peut se demander à laquelle d’entre elles est conforme notre univers. Pour beaucoup, la réponse à cette question n’est pas douteuse : notre univers est euclidien. A cette affirmation sans réserve, il est d’abord indispensable d’opposer une restriction à laquelle ne saurait contredire aucune personne nous ayant suivi jusqu’ici : du moment que le système de géométrie cherché ne présente aucun caractère de nécessité, nous ne pouvons le connaître que par la méthode d’observation ; c’est uniquement par des mesures que nous arriverons à déterminer le paramètre de notre univers, à supposer même que notre univers soit identique à lui-même, ce que rien n’impose a priori. Dès lors, cette détermination ne pourra être faite qu’à un certain degré d’approximation, comme toutes les détermination expérimentales (Léchalas). » De plus, il faudra admettre que nous pouvons être pratiquement certain de l’invariabilité de nos étalons de mesure quand nous les employons dans des endroits différents, les autres circonstances restant les mêmes. » (Mansion (1896), pp. 247-248)

• Mansion cite et renvoie à l’étude de Milhaud dans laquelle est démontré que Kant n’avait pas de connaissances scientifiques sérieuses :

  « Comme on l’a remarqué (Milhaud), Kant n’avait pas de connaissances scientifiques sérieuses. « Il a touché à de nombreuses questions, mais en philosophe putôt qu’en savant et en philosophe préoccupé surtout, à la manière antique, d’assurer les fondements à priori de la science. Après Newton, après les savants du XVIIIe siècle, Kant ne semble pas de son temps. Ses vues parfois ingénieuses ont un caractère trop vague. On sent qu’elles ne se forment ni au contact des faits, ni même au contact des connaissances mathématiques de l’époque. Elles restent pénétrées de quelque naïveté, malgré les apparences de la forme savante et elles font plus songer à certaines théories d’Aristote ou même des Ioniens qu’à Euler ou à Newton. » » (Mansion (1896), pp. 252-253)

• Mansion renvoie à la définition de la ligne droite de Leibniz et à celle de Cauchy dans un Appendice consacré à La géométrie comme physique mathématique des distances 

• Pour Mansion, la métagéométrie, en prouvant l’inanité des idées de Kant sur l’espace, ruine, par la base, la métaphysique du criticisme. Mansion consacre un chapitre à La métagéométrie et au kantisme dans lequel il montre que les conceptions du criticisme kantien (jugement, espace, antinomie de la raison pure...) sont en contradiction avec les géométries non-euclidiennes. 

• Nys, « L'homogénéité de l'espace », in Revue Néo-Scolastique, t. 23, Louvain, 1921, pp. 140-162

• Mansion, Paul, « De la suprême importance des Mathématiques en Cosmologie, à propos de Kant », in Revue Néo-Scolastique, t.22, Louvain, 1920, pp. 148-189

• Léchalas, Georges, « Les fondements de la Géométrie. A propos d'un livre récent », in Revue Néo-Scolastique, t.8, Louvain, 1901, pp. 338-354

• Nys utilise l'article de Mansion pour réaliser une présentation d'un point de vue scientfique des géométries nouvelles

  Léchalas estime que les articles de Mansion ont permis aux lecteurs de la revue de se familiariser avec les principes de la géométrie générale :

  « Nous admettrons que nos lecteurs ont déjà une connaissance suffisante de la géométrie non-euclidienne, ou plutôt de la géométrie générale ; non seulement en effet la connaissance de cette géométrie s’est beaucoup répandue depuis quelques années, mais les lecteurs de la Revue Néo-Scolastiquey ont été particulièrement initiés par M. Mansion, dans sa belle étude sur les Premiers principes de Métagéométrie ou de Géométrie générale. Mais, avant d’aborder l’examen des fondements mêmes de la géométrie, nous voudrons faire ressortir nettement l’idée essentielle de la Géométrie projective. » (Léchalas (1901), pp. 338-339)