Mansion présente les principes des trois géométries possibles et de la géométrie physique

• Mansion illustre l’utilisation abusive et erronée des exemples géométriques en philosophie à partir des ouvrages de Bossuet, Du Rousseaux, Garrigou-Lagrange et De Poulpiquet : 

  « Depuis Aristote jusqu’à nos jours, le philosophes ont l’habitude d’introduire dans leurs spéculations des exemples tirés de la géométrie, probablement parce qu’ils trouvent les idées et les raisonnements géométriques plus faciles à saisir que les autres. Cette coutume ne va pas sans inconvénient : la définition précise des notions fondamentales de la géométrie est, en réalité, très difficile et les démonstrations des théorèmes les plus célèbres, de ceux qui sont les plus connus, n’est pas aussi simple qu’on le croit communément. Les philosophes qui ne sont pas en même temps mathématiciens comme Descartes ou Leibniz, ne supposent pas, il est vrai, chez leurs lecteurs, des connaissances étendues en géométrie : ils se contentent de cite des définitions et des propositions empruntées à la première moitié du premier des huit livres géométriques d’Euclide ou de Legendre. On dirait qu’ils ne supposent pas que leurs lecteurs connaissent autre chose en géométrie, bien que l’on trouve dans les autres livres des exemples plus simples à introduire en philosophie. (….) En résumé, en laissant de côté la définition du triangle, et peut-être celle des parallèles, on ne trouve dans les exemples cités que des propositions relatives à ce qu’ily a de plus épineux dans le premier livre des Éléments, savoir les postulats de la théorie des parallèles et la question de la somme des angles d’un triangle qui en dépend essentiellement. » (Mansion (1914), pp. 326-329)

• Mansion montre que Kant s’est trompé en pensant que 7 + 5 = 12 était un jugement synthétique a priori :

  « Faute d’avoir médité sur cette démonstration de Leibniz, Kant a pensé que 7 + 5 = 12 et les milliards d’additions que les hommes font chaque jour sont des jugements synthétiques a priori. Au moyen de la définition précise de Grassmann pour l’addition d’un nombre à un autre, savoir a + (b + 1) = (a + b) + 1, définition identique au fond à celle de Leibniz, on refait aisément le raisonnement où Kant s’est embourbé pour son malheur et celui de ses dévots. » (Mansion (1914), p. 334)

• Mansion renvoie aux travaux de Leibniz, Cauchy, et De Tilly sur la définition du plan. Il montre la difficulté pour les philosophes d'appréhender ces travaux et de les utiliser en philosophie :

  
  « Quand on va au fond des choses, on rencontre des difficultés dans beaucoup de ces démonstrations géométriques parce qu’elles présupposent presque toutes que l’on ait établi la possibilité du plan. Leibniz, Cauchy, De Tilly l’ont fait : ils ont prouvé que l’on peut concevoir cette surface, le plan, qui contient toutes les droites qui passent par deux de ses points ; ils ont en même temps élucidé les concepts de droite et d’espace à trois ou à un nombre plus grand de dimensions. Mais les considérations qui les ont conduits à ces résultats si importants de philosophie mathématique sont trop subtiles pour qu’on puisse les introduire dans les Éléments. Il est presque certain que les futurs élèves en philosophie, sinon leurs maîtres, ignoreront ces subtilités. Si les maîtres introduisent des théorèmes de géométrie générale dans leurs spéculations métaphysiques, les élèves risquent de les comprendre dans un sens abaissé, un peu comme les exercices d’intuition au moyen desquels on arrête le développement de l’intelligence des enfants soumis à l’abaissante discipline pestalozzienne. » (Mansion (1912), pp. 332-333)

• Mansion rappelle les raisons pour lesquelles Saint-Augustin s’est dépris du manichéisme de Faustus :

  « Il y a quinze siècles, saint Augustin, après avoir été partisan du manichéisme pendant neuf ans, s’est dépris de cette doctrine décevante, parce que le grand évêque de la secte, Faustus, ignorait complètement l’astronomie scientifique et admettait, dans sa doctrine religieuse, une astronomie imaginaire. Comment Faustus peut-il enseigner à ses fidèles le chemin du ciel (moral), s’il ignore comment va le ciel (physique), peut-on se demander en imitant un jeu de mots de saint Augustin ; » (Mansion (1912), p. 334)

• Mansion renvoie à l’ouvrage de Chwolson pour illustrer la violation du douzième cmmandement par Haeckel

  « M. Chwolson, dans sa célèbre brochure (…) a montré que M. Haeckel a parlé du principe de la dégradation de l’énergie sans y rien entendre. Quiconque a lu cette brochure croit difficilement à la compétence de M. Haeckel même en biologie, parce qu’il a violé trop fort le douzième commandement : tu n’enseigneras pas ce que tu ne comprends pas. » (Mansion (1912), p. 334)