Études critiques de philosophie mathématique
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Thèse - Objectif :
Restituer aux sciences-mathématique (science des nombres, science de l’étendue, science du mouvement et des forces) leur caractère objectif et phénoménal de sciences naturellesCorriger, modifier et compléter les considérations de Comte sur les sciences-mathématiques (division, définition, classification et organisation des sciences-mathématiques)
Acculturation
École philosophique
PositivismeRéférence bibliographique
Littré, Émile, Auguste Comte et la Philosophie positive, Paris, Hachette, 1863 (http://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k954949).
Spencer, Herbert.
Duhamel, Jean-Marie-Constant, Des méthodes dans les sciences de raisonnement. Application des méthodes générales à la science des nombres et à la science de l'étendue, Paris, Gauthier-Villars, 1866 (http://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k994154).
Comte, Auguste, Cours de Philosophie positive.
Noël, Georges, « Des Axiomes et des définitions mathématiques », in La Philosophie Positive, t.2, Paris, 1868, pp. 422-441.
Noël, Georges, « Des Axiomes et des définitions mathématiques (deuxième et dernier article) », in La Philosophie Positive, t.3, Paris, 1868, pp. 63-79.
André, Louis, « De l'esprit métaphysique en géométrie », in La Philosophie Positive, t. 3, Paris, 1868, pp. 265-277.
Commentaire référence bibliographique
André renvoie le lecteur aux analyses de Noël. Ces analyses donnent la preuve du caractère expérimental des axiomes mathématiques :
« Il n'y a plus d'ailleurs à insister aujourd'hui sur l'objectivité des axiomes de la science des nombres; cette objectivité a été mise en pleine évidence par M. Noël dans cette Revue. Ce qui reste à faire, c'est d'introduire cette conception dans notre philosophie. » (André (1883), pp. 246-247)André se rallie aux observations de Spencer sur l'algèbre et l'arithmétique :
« Il résulte pour nous, de ce qui précède, que nous nous rallions à l'observation de M. Spencer, que nous tenons pour avoir été déterminée par certaines extensions un peu exagérées des principes fondamentaux du positivisme. M. Spencer considère l'algèbre comme plus générale que l'arithmétique; l'exemple particulier qu'il a choisi est un exemple de géométie, néanmoins telle est bien son idée, puisqu'il considère l'expression algébrique des tangentes comme plus générale que son expression arithmétique. Nous pensons que cette vue est exacte, puisqu'il s'agit d'un même phénomène étudié, d'un côté dans tous les cas possibles, et de l'autre dans certains cas particuliers; et nous ne voyons pas d'intérêt philosophique, - au contraire, - dans les explications quelque peu subtiles qui permettraient d'arriver à une conclusion opposée. » (André (1883), p. 258)André renvoie à l'ouvrage de Littré dans lequel les positions de Comte sur l'arithmétique et l'algèbre sont défendues :
« On voit que, en tant que pure exégèse, la question se prêterait la discussion, et il ne se rencontre rien d'étonnant ce qu'on ait cru, d'une part, attaquer le livre de Comte en objectnt à son principe fondamenta que l'algèbre est plus générale que l'arithmétique, et qu'on ait pensé d'autre part la défendre en expliquant qu'en certain sens les solutions arithmétiques peuvent être tenues ppour plus générales que les solutions algbériques (Littré). » (André (1883), p. 252)
Discute :
Comte, Auguste, Cours de Philosophie positive.
Duhamel, Jean-Marie-Constant, Des méthodes dans les sciences de raisonnement. Application des méthodes générales à la science des nombres et à la science de l'étendue, Paris, Gauthier-Villars, 1866 (http://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k994154).
Commentaire Discute
En faisant la preuve du caractère phénoménal et expérimental des sciences mathématiques, André est conduit à modifier certaines considérations de Comte sur ces sciences :
- Il abandonne la division comtienne des sciences mathématique en Mathématique abstraite (dont les principes premiers sont de nature purement logique et rationnel) et Mathématique concrète (dont les principes premiers sont de nature expérimental) :
« Le caractère objectif et phénoménal étant ainsi restitué à toutes les sciences, il n’y a plus lieu de suivre Comte dans le mode de division, que d’autres considérations l’avaient conduit à introduire dans la mathématique. Nous ne la diviserons pas comme lui en mathématique abstraite (calcul) et en mathématique concrète (géométrie et mécanique); nous diviserons les mathématiques en trois sciences : 1° science des nombres, 2° science de l’étendue, 3° science du mouvement et des forces; revenant même, pour l’ensemble de ces trois sciences, à la désignation habituelle de sciences mathématiques ou les mathématiques, et abandonnant l’expression la mathématique, adoptée par Comte après Condorcet. » (André (1883), p. 247)
- Il substitue à la définition unique de la mathématique de Comte plusieurs définitions pour chaque branche des sciences mathématiques :« Si l’on observe que chaque science est destinée à l’étude des phénomènes dérivés de certaines propriétés spéciales de la matière, on est conduit à demander au monde phénoménal les définitions des mathématiques; à la définition unique de la mathématique, donnée par Comte et rappelée plus haut, on substituera, pour les mathématiques, les définitions suivantes : Le calcul a pour but l’étude des phénomènes numériques; la géométrie, celle des phénomènes de l’étendue; et la mécanique, celle des mouvements et des forces. » (André (1883), p. 248)
- Il organise différemment les sciences mathématiques :
« En restituant aux sciences mathématiques leur caractère de sciences naturelles, on se trouve conduit à subordonner leur organisation intérieure à des considérations différentes de celles par lesquelles Comte a été dirigé. Au lieu d'envisager le calcul comme un pur instrument logique, nous voyons en lui une science naturelle, comprenant des développements spéciaux relativement à un artifice, suggéré par l'observation de l'étendue et des masses, qui s'est montré éminemment apte à l'application du calcul aux sciences suivantes. Nous distinguons dans la géométrie deux parties, d'importances comparables quoique inégales, la géométrie directe qui observe des principes et déduit à l'aide d'une méthode propre, et la géométrie analytique qui facilite les déductions en fournissant les moyens d'appliquer en bloc, pour ainsi dire, aux phénomènes de l'étendue des lois déjà démontrées pour les nombres. La mécanique enfin, après une première partie qui observe, induit et déduit directement, présente également une deuxième partie dans laquelle, la déduction est facilitée par l'application du calcul.En raison de l'origine et du but du clcul infinitésimal, im semble convenable de n'en pas séparer systématiquement l'étude d'avec toute application géométrique. Comte, qui faisait de de ce calcul l'instrument essentiel des sciences suivantes, arrive à une conclusion opposée et considère comme vicieuse toute introduction de la géométrie dans son étude. En cherchant l'origine et la raison d'être de ce calcul l où eles se trouvent effectivement, en lui rendant son caractère inductif, on peut éviter d'arriver à une pareille conclusion, que la pratique de l'enseignement s'accorde à montrer inadmissible. » (André (1883), p. 271)Il reproche à Duhamel d'ignorer la nature phénoménale des sciences mathématiques :
« Il serait superflu d'insister dans cette Revue sur ce qu'il y aurait de contraire à la méthode positive, à vouloir enlever à ce principe (principe de généralité décroissante) son caractère relatif, phénoménal, pour lui attribuer une portée absolue, purement logique. (...) Si, par exemple, on s'efforce d'introduire le principe de généralité décroissante dans l'intérieur des mathématiques, on se trouve conduit à les réduire à n'être que des sciences de déduction, on néglige un de leurs caractères fondamentaux et on risque comme cela est arrivé à M. Duhamel dans ses sciences du raisonnement, de ne plus pouvoir comprendre la définition de Condillac : « Analyser n'est autre chose qu'observer dans un ordre successif les qualités d'un objet, afin de leur donner dans l'esprit l'ordre simultané dans lequel elles existent. » » (André (1883), p. 260)
Intervention citée
NonIntervention discutée
NonURL
http://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k779059/f242.item
Fiche complète
OuiCréateur de la fiche
Greber, Jules-henriÉtudes critiques de philosophie mathématique est le sixième article de fond publié par André au sein de La Philosophie Positive. Parue en 1883, l'intervention d'André a pour objectif de restituer aux sciences-mathématique (science des nombres, science de l’étendue, science du mouvement et des forces) leur caractère objectif et expérimental de sciences naturelles. L'auteur est alors amené à corriger, modifier et compléter les considérations de Comte sur les sciences-mathématiques (division, définition, classification et organisation des sciences-mathématiques).